【三角函数变换公式大全】在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了便于学习和应用，以下总结了常见的三角函数变换公式，并以表格形式呈现，帮助读者快速查阅和理解。
一、基本三角函数关系
| 公式 | 描述 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切、余割的关系 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切、正割的关系 |
二、诱导公式（角度的加减）
| 角度 | 正弦 | 余弦 | 正切 |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
| $\sin(2\pi - \theta)$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
| $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ | $\cos\theta$ | $\sin\theta$ | $\cot\theta$ |
| $\sin(\frac{\pi}{2} + \theta)$ | $\cos\theta$ | $-\sin\theta$ | $-\cot\theta$ |
三、和差角公式
| 公式 | 描述 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦的和差公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦的和差公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切的和差公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 描述 |
| $\sin 2A = 2\sin A \cos A$ | 正弦的二倍角公式 |
| $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$ | 余弦的二倍角公式 |
| $\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$ | 正切的二倍角公式 |
五、半角公式
| 公式 | 描述 |
| $\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$ | 正弦的半角公式 |
| $\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$ | 余弦的半角公式 |
| $\tan \frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}$ | 正切的半角公式 |
六、积化和差公式
| 公式 | 描述 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 正弦与余弦的乘积 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 余弦与余弦的乘积 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ | 正弦与正弦的乘积 |
七、和差化积公式
| 公式 | 描述 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 正弦和的公式 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 正弦差的公式 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 余弦和的公式 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 余弦差的公式 |
八、反三角函数相关公式（简要）
| 公式 | 描述 |
| $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ | 反正弦与反余弦的关系 |
| $\arctan x + \text{arccot} x = \frac{\pi}{2}$ | 反正切与反余切的关系 |
| $\arctan x + \arctan y = \arctan\left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)$（当 $xy < 1$） | 反正切的和公式 |
总结
以上内容涵盖了三角函数的核心变换公式，包括基本恒等式、诱导公式、和差角公式、倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积以及反三角函数的相关公式。这些公式是解决三角问题的基础工具，熟练掌握有助于提高解题效率和数学思维能力。
如需进一步深入某类公式或具体应用场景，可结合实际题目进行练习和分析。