问积分敛散性判别口诀

【积分敛散性判别口诀】在数学分析中，判断积分的收敛性是学习积分学的重要内容之一。无论是定积分还是广义积分，了解其是否收敛，对于后续的计算与应用都具有重要意义。为了帮助大家更好地掌握这一知识点，本文总结了常见的积分敛散性判别方法，并以“口诀”的形式进行归纳整理，便于记忆和应用。

一、常见积分敛散性判别方法总结

1. 比较判别法

若 $ f(x) \leq g(x) $ 在区间上成立，且 $\int g(x) dx$ 收敛，则 $\int f(x) dx$ 也收敛；反之若 $\int f(x) dx$ 发散，则 $\int g(x) dx$ 也发散。

2. 极限比较判别法

设 $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L$（$L$ 为有限正数），则 $\int f(x) dx$ 与 $\int g(x) dx$ 同敛散。

3. 柯西判别法（根值判别法）

对于幂级数 $\sum a_n x^n$，若 $\limsup a_n^{1/n} = L$，则当 $L < 1$ 时收敛，$L > 1$ 时发散。

4. 比值判别法

对于幂级数 $\sum a_n x^n$，若 $\lim_{n \to \infty} \left\frac{a_{n+1}}{a_n}\right = L$，则当 $L < 1$ 时收敛，$L > 1$ 时发散。

5. 狄利克雷判别法（适用于含三角函数的积分）

若 $f(x)$ 单调递减趋于0，且 $g(x)$ 的积分在某区间上有界，则 $\int f(x)g(x) dx$ 收敛。

6. 阿贝尔判别法

若 $f(x)$ 单调有界，$\int g(x) dx$ 收敛，则 $\int f(x)g(x) dx$ 也收敛。

二、积分敛散性判别口诀

为了方便记忆和快速判断，我们可以将上述方法编成简洁易记的口诀：

三、常见函数积分敛散性对照表

以下是一些常见函数在不同区间的积分敛散性情况，供参考：

四、结语

积分敛散性的判断是数学分析中的基础内容，掌握好这些方法不仅有助于提高解题效率，也能加深对函数行为的理解。通过“口诀”记忆和表格对比，可以更系统地掌握各类积分的收敛规律，避免在实际应用中出现错误判断。

希望本文能为你提供一个清晰、实用的学习参考。